Identitas Trigonometri

Hallo Sobat Ceria!! 

Pada materi kali ini kita akan mengkaji ekspresi perbandingan trigonometri selain atau/dan menggunakan nilai perbandingan trigonometri yang telah dipelajari. Pengetahuan dasar yang diperlukan pada materi ini di antaranya definisi perbandingan trigonometri dan Teorema Pythagoras.

        Menurut Zen (2012), identitas trigonometri yaitu bentuk kesamaan antara ruas kiri dan ruas kanan. Penjabaran atau penguraian bentuk ruas kiri hingga ekuivalen dengan ruas kanan atau berlaku sebaliknya digunakan untuk pembuktian.

1. Identitas trigonometri dasar yang merupakan hubungan kebalikan
   Identitas trigonometri dasar yang merupakan hubungan kebalikan adalah sebagai berikut:
   a. 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐(𝛼) = \(\frac{1}{sin (𝛼)}\)
   b. sec(𝛼) = \(\frac{1}{cos (𝛼)}\)
   c. cot(𝛼) = \(\frac{1}{tan (𝛼)}\)
2. Identitas trigonometri dasar yang merupakan hubungan perbandingan
   
   Identitas trigonometri dasar yang merupakan hubungan kebalikan adalah sebagai berikut:
   

   a. tan(𝛼) = \(\frac{sin (𝛼)}{cos (𝛼)}\)
   b. cot(𝛼) = \(\frac{cos (𝛼)}{sin (𝛼)}\)
3. Identitas trigonometri dasar yang diperoleh dari hubungan Phytagoras
   Identitas trigonometri dasar yang diperoleh dari hubungan Phytagoras adalah sebagai berikut:
   a. \(𝑠𝑖𝑛^2 (𝛼) + 𝑐𝑜𝑠^2 (𝛼)\) = 1 …………………………………………………….. (*)
   b. \(1 + 𝑡𝑎𝑛^2 (𝛼) = 𝑠𝑒𝑐^2 (𝛼)\)
   (diperoleh jika kedua ruas pada persamaan (*) dibagi dengan \(𝑠𝑖𝑛^2 (𝛼))\).
   c. \(𝑐𝑜𝑡^2 (𝛼) + 1 = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐^2 (𝛼)\)
   (diperoleh jika kedua ruas pada persamaan (*) dibagi dengan \(𝑐𝑜𝑠^2 (𝛼))\).

        Catatan: Kegunaan dari identitas-identitas trigonometri dasar yang diperoleh di atas adalah untuk menentukan nilai suatu perbandingan trigonometri apabila nilai perbandingan trigonometri yang lain telah diketahui.

       Nahhh, setelah mengetahui apa saja identitas trigonometri sekarang Sobat Ceria bisa melihat contoh dan pembahasan soal terkait materi kita kali ini. Eitss, tapi ada tips nihh.  

TIPS: Untuk memudahkan dalam membuktikan suatu persamaan, dimulai dari ruas yang memiliki bagian persamaan yang lebih banyak.

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN

1. Buktikan bahwa

\[sec^2(\beta)(1-cos^2(\beta)) = tan^2(\beta)\]

Pembahasan:

Bukti
Modal yang perlu diingat:

• Rumus \(𝑠𝑖𝑛^2 (𝛽) + 𝑐𝑜𝑠^2 (𝛽) = 1\) 
• Definisi sec(𝛽) = \(\frac{1}{cos (𝛽)}\) 
• Definisi tan(𝛽) = \(\frac{sin (𝛽)}{cos (𝛽)}\)

Untuk memudahkan, mulai dari ruas kiri karena memiliki bagian persamaan yang lebih banyak daripada ruas kanan. 

Ruas kiri

\(𝑠𝑒𝑐^2 (𝛽)(1 − 𝑐𝑜𝑠^2 (𝛽))\)
= \(𝑠𝑒𝑐^2 (𝛽).𝑠𝑖𝑛^2 (𝛽)\) ..... Rumus \(𝑠𝑖𝑛^2 (𝛽) + 𝑐𝑜𝑠^2 (𝛽) = 1\)
= \((\frac{1}{cos(𝛽)})^2 . 𝑠𝑖𝑛^2 (𝛽)\) ..... Definisi sec(𝛽)
= \(\frac{sin(𝛽)}{cos(𝛽)}\).\(\frac{sin(𝛽)}{cos(𝛽)}\) 
= \(tan^2 (𝛽)\) ..... (Definisi tan(𝛽))
Ruas kanan (Terbukti).

2. Buktikan bahwa 

\[cos𝛽 (sec 𝛽 − cos 𝛽) = sin^2 𝛽\]

Pembahasan:

Bukti

Ruas kiri 

cos𝛽 (sec 𝛽 − cos 𝛽) 
= \(cos𝛽 (\frac{1}{cos 𝛽} − cos 𝛽)\)
= \(cos𝛽 (\frac{1}{cos𝛽}\) − \((cos 𝛽 . (\frac{cos𝛽}{cos𝛽}))\)
= \(cos𝛽 (\frac{1− cos^2 𝛽}{cos 𝛽})\)
= \(1 − cos^2 𝛽\)
= \(sin^2 𝛽\) 
Ruas kanan (Terbukti). 

sumber :

- http://eprints.unpam.ac.id/8902/1/MAT0022_TRIGONOMETRI.pdf

- Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan. 2017. Buku Siswa Matematika Kurikulum 2013 Edisi Revisi 2017 Kelas X. Jakarta: Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan.