Metode Persamaan Kuadrat

Untuk mencari penyelesaian persamaan kuadrat, terdapat beberapa metode yang dapat digunakan, diantaranya yaitu faktorisasi, kuadrat sempurna, dan menggunakan rumus ABC. Berikut penjelasan mengenai beberapa metode untuk mencari penyelesaian persamaan kuadrat.

1. Faktorisasi / Pemfaktoran 

adalah suatu metode dalam menentukan akar-akar dengan mencari nilai yang jika dikalikan maka akan menghasilkan nilai lain. Terdapat tiga bentuk persamaan kuadrat (PK) dengan faktorisasi akar-akar yang berbeda, yaitu:

    Berikut contoh soal mengenai penggunaan metode faktorisasi pada persamaan kuadrat. Selesaikan persamaan kuadrat \(5x^2+13x+6=0\) menggunakan metode faktorisasi. 

Penyelesaian:

\(5x^2+13x+6=0\).

\(5x^2+10x+3x+6=0\). 

\(5x(x + 2) + 3(x + 2) = 0\)

\(5x + 3)(x + 2) = 0 \)

\(5x = -3\) atau \(x = -2\)

Jadi penyelesaiannya adalah \(𝑥 = \frac{− 3}{5}\)  atau \(𝑥 = −2\)

2. Kuadrat Sempurna 

Bentuk kuadrat sempurna merupakan bentuk persamaan kuadrat yang menghasilkan bilangan rasional. Hasil dari persamaan kuadrat sempurna umumnya menggunakan rumus sebagai berikut:

\((x+p)^2\)= \(x^2 + 2px +p^2\) 

Penyelesaian umum dari persamaan kuadarat sempurna ialah sebagai berikut: 

\((x+p)^2\)= \(x^2 + 2px +p^2\)  dengan pemisalan \((x+p)^2 = q\) , maka:

\((x+p)^2 = q\)

\(x+p = ± q \)

\(x = -p ± q\)

Berikut contoh soal mengenai penggunaan metode persamaan sempurna. 

Selesaikan persamaan \(x^2 + 6x + 5 = 0\) menggunakan metode persamaan kuadrat sempurna ! Penyelesaian: 

\(x^2 + 6x +5 = 0\)

\(x^2 + 6x = -5\)

Langkah selanjutnya yaitu tambahkan satu angka di ruas kanan dan kiri hingga dapat membentuk kuadrat sempurna

\(x^2 + 6x + 9 = -5 + 9\)

\(x^2 + 6x + 9 = 4\)

\((x+3)^2 = 4\)

\((x+3)\)= \(\sqrt[]{4}\)

 \(x = -3 ± 2\) 

Jadi, hasil akhirnya adalah \(x = -1\) atau \(x = -5\)

3. Rumus Kuadrat ABC 

Rumus abc merupakan alternatif pilihan ketika persamaan kuadrat sudah tidak bisa diselesaikan dengan metode faktorisasi maupun kuadrat sempurna. 

Berikut rumus formula abc pada persamaan kuadrat \(ax^2 +bx + c = 0\).

 

Menyusun Persamaan Kuadrat baru

Menyusun persamaan kuadrat baru dari akar-akar yang telah diketahui sebelumnya. Berikut beberapa cara yang dapat digunakan untuk menyusun persamaan kuadrat baru.

1. Menyusun persamaan jika telah diketahui akar-akarnya 

Jika sebuah persamaan memiliki akar 𝑥1 dan 𝑥2 , maka persamaan yang dapat dibentuk dari akar- akar tersebut dinyatakan dalam bentuk 

(𝑥 - 𝑥1 )(𝑥 - 𝑥2 ) = 0 

Contoh: Tentukan persamaan kuadrat dimana akar-akarnya diantaranya -2 dan 3. 

Penyelesaian:  𝑥1= −2 dan 𝑥2 = 3 

\((𝑥 − (−2))(𝑥 − 3) =0 \)

\((𝑥 + 2)(𝑥 - 3)\)

\(x^2 − 3x + 2x – 6 = 0 \)

\(x^2 – x – 6 = 0\)

Jadi, persamaan kuadrat dari akar-akar tersebut adalah \(x^2 – x – 6 = 0\)

2. Menyusun persamaan kuadrat jika jumlah serta hasil kali akar diketahui 

Jika akar-akar persamaan kuadratnya merupakan jumlah dan hasil kali 𝑥1 dan 𝑥2 yang telah diketahui, maka persamaan kuadratnya dapat diubah dalam bentuk sebagai berikut. 

\(x^2\) – (𝑥1 + 𝑥2 )𝑥+(𝑥1𝑥2 ) = 0

Contoh: 

Tentukan persamaan kuadrat yang memiliki akar 3 dan  \(\frac{-1}{2}\)

Penyelesaian: 𝑥1 = 3 dan 𝑥2 = \(\frac{1}{2}\)

𝑥1+ 𝑥2 = 3 + \(\frac{-1}{2}\)= \(\frac{6}{2}\) −  \(\frac{-1}{2}\) = \(\frac{5}{2}\)

𝑥1. 𝑥2 = 3 ( \(\frac{-1}{2}\) ) =  \(\frac{-3}{2}\)

Sehingga, persamaan kuadratnya menjadi :

\(x^2\) – (𝑥1 + 𝑥2 )𝑥+(𝑥1𝑥2 ) = 0

\(x^2\)  – \(\frac{5}{2}\)𝑥 − \(\frac{3}{2}\)  = 0 (masing-masing ruas dikali 2)

\(2x^2 – 5x – 3 = 0\) 

Jadi, persamaan kuadrat dari akar 3 dan \(\frac{-1}{2}\) adalah  \(2x^2 – 5x – 3 = 0\)