Belajar Matematika Ceria: Menemukan Konsep Turunan

Oleh. Naomi

Pada pembelajaran kali ini, Anda akan digiring untuk dapat menemukan konsep turunan secara mandiri. Selain itu juga Anda akan diajak untuk dapat menentukan turunan fungsi aljabar mulai dari yang paling sederhana sampai ke yang kompleks. Namun tidak usah khawatir, kali ini Anda akan mempelajarinya secara bertahap untuk memungkinkan Anda dapat mempelajarinya secara mandiri.

Untuk menemukan konsep turunan, kita akan mencoba mengamati berbagai permasalahan nyata dan mempelajari beberapa kasus dan contohnya. Kita akan memulainya dengan menemukan konsep garis tangen atau garis singgung. Sebagai ilustrasi perhatikan berikut:

Misalkan seseorang yang sedang bermain papan seluncur bergerak dari titik $https://latex.codecogs.com/svg.image?Q(x_{2},y_{2})$ dan melayang ke udara pada titik $https://latex.codecogs.com/svg.image?P(x_{1},y_{1})$ sehingga ia bergerak dari titik Q mendekati titik P. Garis yang menghubungkan titik $https://latex.codecogs.com/svg.image?Q(x_{2},y_{2})$ dan titik $https://latex.codecogs.com/svg.image?P(x_{1},y_{1})$ disebut tali busur atau garis sekan dengan kemiringan atau gradien $https://latex.codecogs.com/svg.image?m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$ (ingat konsep garis lurus).

Jika $https://latex.codecogs.com/svg.image?\Delta x=x_{2}-x_{1}$ , maka $https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{2}=\Delta x+x_{1}$ ( $https://latex.codecogs.com/svg.image?\Delta x$ merupakan selisih dari x) dan jika $https://latex.codecogs.com/svg.image?\Delta y=y_{2}-y_{1}$ maka $https://latex.codecogs.com/svg.image?y_{2}=\Delta y+y_{1}$ .

Jika $https://latex.codecogs.com/svg.image?\Delta x$ semakin kecil maka Q akan bergerak mendekati P (jika $https://latex.codecogs.com/svg.image?\Delta x$ ⇾0 maka Q ⇾ P). Sehingga gambar grafiknya dapat diilustrasikan sebagai berikut:

Jika y=f(x) maka gradien garis sekan PQ adalah:

$https://latex.codecogs.com/svg.image?m_{PQ}=\frac{f(x_{2})+f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}=\frac{f(x_{1}+\Delta x)-f(x_{1})}{x_{1}+\Delta x-x_{1}}=\frac{f(x_{1}+\Delta x)-f(x_{1})}{\Delta x}$

Dari persamaan tersebut, kita dapat menarik definisi:

Kita kembali ke gambar kedua yuk, amati kembali bahwa jika titik Q mendekati P maka $https://latex.codecogs.com/svg.image?\Delta x$ ⇾0 sehingga diperoleh garis singgung di titik P dengan gradien: $https://latex.codecogs.com/svg.image?m_{PGS}=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_{1}+\Delta x)-f(x_{1})}{\Delta x}$ jika limitnya ada, nah pada bagian ini kita harus pahami teori limit. Dari perhitungan matematis ini kita dapatkan definisi kedua mengenai gradien garis singgung yaitu sebagai berikut:

Contoh soal 1:

Tentukan gradien garis singgung kurva $https://latex.codecogs.com/svg.image?f(x)=x^{2}+3x-4$ di titik (2,6).

Jawab:

$https://latex.codecogs.com/svg.image?f(x)=x^{2}+3x-4$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?f(2)=2^{2}+3(2)-4$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?f(2+\Delta x)=(2+\Delta x)^{2}+3(2+\Delta x)-4$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?f(2+\Delta x)=4+4\Delta x+\Delta x^{2}+6+3\Delta x-4$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?f(2+\Delta x)=\Delta x^{2}+7\Delta x+6$

Menurut rumus: $https://latex.codecogs.com/svg.image?m_{PGS}=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_{1}+\Delta x)-f(x_{1})}{\Delta x}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?m_{PGS}=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(2+\Delta x)-f(2)}{\Delta x}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?m_{PGS}=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta x^{2}+7\Delta x+6-6}{\Delta x}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?m_{PGS}=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta x^{2}+7\Delta x}{\Delta x}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?m_{PGS}=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta x^{2}}{\Delta x}+\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{7\Delta x}{\Delta x}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?m_{PGS}=0+7=7$

Jadi, gradien garis singgung kurva $https://latex.codecogs.com/svg.image?f(x)=x^{2}+3x-4$ di titik (2,6) sama dengan 7.

Bagaimana? Bisakan kamu memahami bagaimana mencari gradien atau kemiringan dengan menggunakan konsep secan? Nah, lanjut ke pelajaran berikutnya yaitu kita akan mengulas kembali persamaan garis singgung yang pernah kamu pelajari waktu SMP. Ingat kembali bahwa rumus mencari persamaan garis kurva y=f(x) di titik $https://latex.codecogs.com/svg.image?(x_{1},y_{1})$ yaitu:

Contoh soal 2:

Tentukan persamaan garis singgung kurva $https://latex.codecogs.com/svg.image?y=f(x)=x^{2}+4x$ di titik $(-1,-3)$ .

Jawab:

$https://latex.codecogs.com/svg.image?f(x)=x^{2}+4x$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?f(-1)=(-1)^{2}+4(-1)=1-4=-3$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?f(-1+\Delta x)=(-1+\Delta x)^{2}+4(-1+\Delta x)$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?f(-1+\Delta x)=(-1)^{2}-2\Delta x+\Delta x^{2}-4+4\Delta x$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?f(-1+\Delta x)=1-2\Delta x+\Delta x^{2}-4+4\Delta x$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?f(-1+\Delta x)=\Delta x^{2}+2\Delta x-3$

Maka didapat:

$https://latex.codecogs.com/svg.image?m_{PGS}=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(-1+\Delta x)-f(-1)}{\Delta x}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?m_{PGS}=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta x^{2}+2\Delta x-3-(-3)}{\Delta x}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?m_{PGS}=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta x^{2}+2\Delta x-3+3}{\Delta x}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?m_{PGS}=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta x^{2}+2\Delta x}{\Delta x}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?m_{PGS}=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta x^{2}}{\Delta x}+\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{2\Delta x}{\Delta x}=0+2=2$